ガンマ関数の0近傍での近似式

(初出2017/05/26, tumblr より移植記事)

ググっても無限遠での漸近展開ばかりでなかなか苦戦したのでメモしておく

まずWikipediaにもあるガンマ関数の無限乗積表示（オイラーの無限乗積表示）から出発しよう。それは

\[
\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{\prod_{k=0}^n (z+k)}{n^z n!},~~~{\small n\rightarrow\infty}
\]

というもの。原点近くなのでz=εと書こう。これを対数にとると

\[
\begin{align}
-\log\Gamma(\epsilon)&=
\sum_{k=0}^n\log (\epsilon+k) – \log n! -\epsilon \log n\newline
&=\sum_{k=0}^n\log (\epsilon+k) – \log \prod_{k=1}^n k – \epsilon\log n\newline
&=\sum_{k=0}^n\log (\epsilon+k) – \sum_{k=1}^n \log k – \epsilon\log n – \gamma \epsilon +\gamma \epsilon\newline
&~~{\small \left( \mathrm{where} ~~ \gamma=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\log n \right)}\newline
&=\log \epsilon+\sum_{k=1}^n\left( \log(\epsilon+k)-\log k \right) – \sum_{k=1}^n \frac{\epsilon}{k} + \gamma \epsilon\newline
&=\log \epsilon+\sum_{k=1}^n\left( \log(1+\frac{\epsilon}{k})-\frac{\epsilon}{k} \right) + \gamma \epsilon
\end{align}
\]

（この段階の無限乗積表示\[ \frac{1}{\Gamma(z)}=z e^{\gamma z}\prod_{k=1}^n (1+\frac{z}{k})e^{-\frac{z}{k}} \]

から出発したほうが速い。（ワイエルシュトラスの乗積表示））

ここから\[ \log (1 \pm x)= \pm x + \mathcal{O}(x) \]

の近似を使っていくと\[ \begin{align} -\log\Gamma(\epsilon)&=\log \epsilon + \gamma \epsilon +\sum_{k=1}^n\left( \log(1+\frac{\epsilon}{k})-\frac{\epsilon}{k} \right)\newline &=\log \epsilon + \gamma \epsilon+\sum_{k=1}^n\left(\frac{\epsilon}{k}-\frac{\epsilon}{k}+\mathcal{O}(\epsilon)\right)\newline &=\log \epsilon – \log (1-\gamma \epsilon) + \mathcal{O} (\epsilon)\newline &=\log \left( \frac{\epsilon}{1-\gamma \epsilon} \right) + \mathcal{O}(\epsilon)\newline &=-\log \left( \frac{1}{\epsilon}-\gamma \right) + \mathcal{O}(\epsilon) \end{align} \]

よって対数を戻すと\[ \Gamma (\epsilon) = \frac{1}{\epsilon}-\gamma +\mathcal{O}(\epsilon) \]

の近似式が得られる。γはオイラー・マスケローニ定数というものでγ=0.5772156649..という数である。この結果は\[ \Gamma (z)=\frac{\Gamma (z+1)}{z} \]

の関係式から得られるz=0に留数Γ(1)=１の一位の極を持つという性質に矛盾しない。